とりあえずだまされたと思って-((-1)^(1/7))を2乗してみてくれ

「アラブ世界では代数学が発展した」とはよく聞くけど、どうも自分の中でしっくりきていなかったというか、要するにあんな難しいものがどうやって始まり発展したのだろう？　と気になっていたのですが、最近思うのです。代数学の始まりとは、「イコールの学問」だったのではないか？　と。

つまり、「ある数を２乗して１引いたら元の数と同じになるような数はあるかな？」とか、「１引いてから２乗したら元の数の２倍になるような数があったら面白そうじゃない？」みたいな素朴な疑問から始まったのではないかと思うのです。なにかの操作をした数と別の操作をした数が「同じ」、すなわちイコールの学問ではないかと。

これは現代の言葉で言えば前者は「 $x^2-1=x$ 」、後者は「 $\left(x-1\right)^2=2x$ 」のことになります。これはまさに方程式です。「代数学が発展した」「方程式の学問が発展した」っていきなり言われても実感がわかないけど、こういう素朴な疑問から始まったとしたら、最初期の代数学がこれを出発点にどんどん発展していったというのもうなずけるし、当時の人達の気持ちに思いを馳せることもできるような気がします。

2乗して巡回する数

さて。そんな感じでいろいろやって遊んでいたのですが、その一環でこういうのも考えてみました。

$a^2=b$

$b^2=c$

$c^2=a$

つまりさっきの感じで言うと「2乗するたびにぐるぐる巡回するような3つの数は作れないかな？」ということです。

自明な解として、「 $a=b=c=0$ 」と「 $a=b=c=1$ 」があるのですが、ちょっと頑張って解いてみると虚数解も出てきます。それのうち１つが、タイトルにあった「 $-\left(-1\right)^{\frac{1}{7}}$ 」なわけです。

今回は「どうやって求めるの？」とか「なんで7とか出てくるの？」とかはまるっきり置いといて、「これ2乗するとマジで3つの数をぐるぐる回って面白いから見て！！！」ってだけの話です。

次から実際の式変形のようすを見てみますが、いちおう指数の計算法則としてこの２つだけはインストールしておいてください。

$\left(a^m\right)^n=a^{mn}$

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

「分数乗」とかが出てくるわけですが、それがどんな意味を持つかは気にせずに、ただただこれらの法則を適用していってるだけですのであまり身構えなくても大丈夫です。

実際に2乗してみる

$-\left(-1\right)^{\frac{1}{7}}$ を2乗すると、2乗なので外側のマイナスが消えて、

　　　　　 $\displaystyle\left(-\left(-1\right)^{\frac{1}{7}}\right)^2 =\left(-1\right)^{\frac{1}{7}\cdot 2}$

そして指数法則で

　　　　　 $\displaystyle=\left(-1\right)^{\frac{2}{7}}$

$\displaystyle\left(-1\right)^{\frac{2}{7}}$ になります。それをさらに2乗します。

　　　　　 $\displaystyle\left(\left(-1\right)^{\frac{2}{7}}\right)^2=\left(-1\right)^{\frac{4}{7}}$

出てきた $\displaystyle\left(-1\right)^{\frac{4}{7}}$ を、さらに2乗します。ここが大事なところです。

　　　　　 $\displaystyle\left(\left(-1\right)^{\frac{4}{7}}\right)^2=\left(-1\right)^{\frac{8}{7}}$

　　　　　 $\displaystyle=\left(-1\right)^{\frac{7}{7}}\cdot \left(-1\right)^{\frac{1}{7}}$

　　　　　 $\displaystyle=-1\cdot\left(-1\right)^{\frac{1}{7}}$

　　　　　 $\displaystyle=-\left(-1\right)^{\frac{1}{7}}$

あ！　ほら！　もとにもどった！

これはすなわち、「 $-\left(-1\right)^{\frac{1}{7}}$ 」「 $\left(-1\right)^{\frac{2}{7}}$ 」「 $\left(-1\right)^{\frac{4}{7}}$ 」とは、「2乗を繰り返すとぐるぐると巡回する3つ組の数」であるということにほかなりません。

ラストの $\left(-1\right)^{\frac{4}{7}}$ を2乗するところが最高に気持ちいいですね。最初に2乗することによって消えていたマイナスが、うまいこと再登場しているわけです。うまいことマイナスが再登場することにより、もとの数に戻る、と。とてもよくできています。

よく出来ている感をさらに実感するために、もう一つの3つ組の例で見てみましょう。 $-\left(-1\right)^{\frac{3}{7}}$ から始めます。

　　　　　 $\displaystyle\left(-\left(-1\right)^{\frac{3}{7}}\right)^2=\left(-1\right)^{\frac{6}{7}}$

$\left(-1\right)^{\frac{6}{7}}$ が出てきます。これを2乗します。

　　　　　 $\displaystyle\left(\left(-1\right)^{\frac{6}{7}}\right)^2=\left(-1\right)^{\frac{12}{7}}$

　　　　　 $\displaystyle=\left(-1\right)^{\frac{7}{7}}\cdot \left(-1\right)^{\frac{5}{7}}$

　　　　　 $\displaystyle=-1\cdot \left(-1\right)^{\frac{5}{7}}$

　　　　　 $\displaystyle=-\left(-1\right)^{\frac{5}{7}}$

この $-\left(-1\right)^{\frac{5}{7}}$ を2乗して元に戻ればうれしいわけです。

　　　　　 $\displaystyle\left(-\left(-1\right)^{\frac{5}{7}}\right)^2=\left(-1\right)^{\frac{10}{7}}$

　　　　　 $\displaystyle=\left(-1\right)^{\frac{7}{7}}\cdot \left(-1\right)^{\frac{3}{7}}$ 　　　　　

　　　　　 $\displaystyle=-1\cdot \left(-1\right)^{\frac{3}{7}}$

　　　　　 $\displaystyle=-\left(-1\right)^{\frac{3}{7}}$

よっしゃあ！　戻ってきた！

「 $\displaystyle-\left(-1\right)^{\frac{3}{7}}$ 」「 $\left(-1\right)^{\frac{6}{7}}$ 」「 $-\left(-1\right)^{\frac{5}{7}}$ 」という3つ組のいっちょあがりです。やっぱり最後の段階のところになんともいえない感慨がありますね。