人が壁を押すリンク機構を数式で作った

先日、こんなツイートを見かけました。

ウォルトディズニー研究所の「複雑な動きをする歯車の設計をコンピュータによって迅速に行いさらに3Dプリンタで出力した」研究。すごくリアルな動き▼Computational Design of Mechanical Characters https://t.co/TAZeT6GFRL pic.twitter.com/kmtumdGV55
— tetsu (@metatetsu) 2016年10月13日

はぇー面白い

人間なんてどんだけ威張ってもしょせん回転してるだけなんやな...という気分にさせてくれます。

こういう歯車とかジョイントとか関節とかでできた機械のことを「リンク機構」と言うそうです。なんとなく、子供心を刺激されるものがあります。これが家にあったら寝食を忘れて回し続けてしまうことでしょう。

ていうかこれ数式で表現できそうやん！　ワイも作ってみたいぞ！

作った

作りました。

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いいですねえ。ずっと見てられます。数式だけで出来てるとは思えない人間のリアルさというか、足腰にギュっと力入れる感じのとことか最高にグッときますね。まぁそのへんはもとの機械のすごさなのですが。

こちらの数式は以下のリンクから見ることができます。

mechanical man

見るだけでなく、いろいろといじることができます。黒で表示されている５つの固定点は直接動かせるので、例えば一番上の点をちょっとプラス側に動かしてみるとこうなります。

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彼は仕様上腕が曲がらないので爆弾運んでるみたいになる点はご容赦ください。

この動画をtwitterに貼ったところ「こんなことできるのか」「どうやってるんだ」「こんなの作るには何勉強したらいいんだ」などの声がありましたので、解説というほどでもないですが「どうやって出来てるのか」ということにちょっと触れておきたいと思います。

つくりかた

基本的には、なんのことはない、画像にグラフを重ねて置いていってるだけであります。

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まず動かない点が５つあるのでそれらを座標平面上に指定します。

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歯車の半径を指定してその上に点を取って回します。

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さて、ここからが本題なのですが、

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この図中の「点１」とは、一体どういう点でしょうか。ちょっと考えてみましょう。

そうだね。点３と点４からの距離が常に等しくなる点だね。

点３は点２の周りをぐるぐると動いているわけですが、点３がどれだけ動いても点３〜点１間と、点４〜点１間の距離は常に同じまま変わらないわけです。というか、同じまま変わらないような位置に点１をとる、といった感じでしょうか。

もともとが3Dプリンタの樹脂かなんかでできた物体ですから、ジョイント部分は伸び縮みができないのであたりまえっちゃああたりまえです。しかし数式で表現するとなるとそこを意識しておくことは重要です。

では実際にそのような位置に点を置くにはどうすればよいのか。こうですね。

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点３と点４をそれぞれ中心とする円どうしの交点をとればいいわけです。２円の交点に点１があることをご確認ください。

平面図形「円」とはそもそも、ある一点からの距離が等しい点の集まりです。だとすると「２円の交点」とはなんなのかというと、２つある円の中心からの距離が等しい点になるというわけです。

さて。実はもうこれだけでほぼ完成です。残りの点もすべて、またどこか別の２点からの距離が等しい点になっています。具体的に見てみましょう。

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というわけです。

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はい。

たったこれだけのことで、いくら点をぐるぐる動かしても形が崩れない機構ができあがってくれるというのは感動的です。数式で作っているからこその感動といえるでしょう。

２円の交点を求める実際の式はこちらを参考にさせていただきました。ありがとうございます。

shogo82148.github.io

「円と円の交点を求める」だなんてやってることは単純なのにかなり複雑な式になるんですね。

点どうしをつなぐ

すべての点が用意できたら、あとは点どうしをつないでいくだけです。いろいろやり方はあるかとは思いますが、今回は媒介変数を使いました。

点 $\left(a,b\right)$ と点 $\left(c,d\right)$ をつなぐには、 $\left(a\left(1-t\right)+ct,b\left(1-t\right)+dt\right)$ という式をおいて $t$ を $0$ から $1$ まで動かせば描けます。こういう式のおき方のことを媒介変数表示といい、 $t$ のことを媒介変数といいます。

この式はどういう仕組みかと言えば、「点 $\left(a,b\right)$ と点 $\left(c,d\right)$ を $t:1-t$ に内分する点において、 $t$ が $0$ から $1$ まで動くときの軌跡」として線分を書く、といった感じです。

ちょっとよくわからないのでためしに $t=0$ を $\left(a\left(1-t\right)+ct,b\left(1-t\right)+dt\right)$ に代入してみるとこの式は $\left(a\cdot\left(1-0\right)+c\cdot 0,b\cdot\left(1-0\right)+d\cdot 0\right)=\left(a,b\right)$ となり、片方の点そのものになります。

今度は $t=1$ を代入してみましょう。 $1-1=0$ をかけて $a$ と $b$ が消えて、 $\left(c,d\right)$ が残ります。これはもう片方の点にほかなりません。

では $0$ と $1$ の間にある $t=\frac{1}{2}$ とか入れてみるとどうなるでしょう。これは定義に則れば、点 $\left(a,b\right)$ と点 $\left(c,d\right)$ を $\frac{1}{2}:1-\frac{1}{2}$ に内分する点ですから、つまり $1:1$ に内分する点ということになり、これは要するに中点です。

$t=\frac{1}{3}$ だと $1:2$ 、 $t=\frac{3}{5}$ とかだと $3:2$ に内分する点となり、同じことを $0$ 〜 $1$ 間のすべての実数でやると、点 $\left(a,b\right)$ と点 $\left(c,d\right)$ をつなぐ線分ができるという寸法です（下図）。