それじゃあ任意の自然数をひっくり返す関数でも作って遊ぶか

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関数を作るのって、結構楽しいんですよね。作曲や絵を描くのと同じで創作意欲が満たされるというか。

何言ってるかわからないと思うので、実際に関数を作って遊んでるときの私の脳内をトレースしました。

関数を作る

あ〜〜〜ヒマだな。関数でも作って遊ぶか。

そうだな......。例えば「 $1234$ 」を「 $4321$ 」にするみたいな、「自然数をひっくり返す関数」とかどうかな。

$273$ なら $372$ 。 $557188$ なら $881755$ 。うんうん。できなくはなさそう。ググってみたけど有名な関数でそういう機能を持つものはないみたいだな。いいぞ。作りがいがある。

関数だしとりあえず $f(n)$ とでも名前つけとくか。こんな感じの問題になるかな。

自然数 $n$ に対して、 $n$ の各桁の値の並びを逆順にした数を与えるような関数 $f(n)$ を作れ。

うん。ワクワクしてきたぞ。なんでだろうな。絶妙に自分にも作れそうなレベルだからかな。

基本的な方針

a千b百c十d（エーせんビーひゃくシーじゅうディー）みたいな自然数って、数式で書くと

$1000a+100b+10c+d$

って表されるから、これを逆の

$1000d+100c+10b+a$

に変換してくれるような関数を作ればいいわけだよな。そうなると......。まずは「自然数nの○桁目の数を取り出す関数」を作って、それから並べ替える、という方針を取るとよさそうかな。

こいつらが使えそうだ。

武器１

$\operatorname{mod}\left(n,10^k\right)$ ：モッド。順番通りに「モッドエヌのじゅうのケーじょう」と読む。 $n\operatorname{mod}10^k$ と書いても同じ意味。自然数 $n$ の下 $k$ 桁を与えてくれる頼もしいやつ。 $n$ が $256$ で $k$ が $2$ なら、 $256$ の下 $2$ 桁ということなので $\operatorname{mod}\left(256,10^2\right)=56$ 。 $n=890625$ で $k=4$ なら $625$ 。
※実際には、 $n$ を $10^k$ で割ったあまりを計算している。

武器２

$\operatorname{floor}\left(n\right)$ ：フロア。「フロアエヌ」と読む。 $\lfloor n \rfloor$ とも書く。 $n$ の整数部分を与えてくれる心強いやつ。 $\operatorname{floor}\left(6.28\right)$ なら $6$ 。 $\operatorname{floor}\left(9.80665\right)$ だと $9$ 。四捨五入ではなく、小数点以下をバッサリ切り捨てる。モッドとは血が繋がっている。

まずはどうするか

とりあえず適当な $n$ を選んでひっくり返すことを考えよう。 $1234$ とかでいいかな。いやマズいな。ひっくり返したときに「 $1$ 桁目である $1$ 」「 $2$ 桁目である $2$ 」とかになっちゃってややこしいからな。...... $6174$ あたりにしよう。

まずは１桁目を取り出すことを考えると、これはmodにかけるだけですむはず。「１桁目」なので $10^1$ をカッコに突っ込んで、

$\operatorname{mod}\left(6174,10^1\right)$

でいい。計算するとたしかに $4$ だ。１桁目が取り出せている。

では２桁目は？　 $6174$ からその２桁目たる $7$ を取り出すには？

これは「下２桁を取り出して」「 $\frac{1}{10}$ して」「整数部分を取り出す」とすればできそうだ。

まず下２桁を取り出すためにmodにかけて $74$ 。

$\operatorname{mod}\left(6174,10^2\right)=74$

それを $\frac{1}{10}$ して $7.4$ 。

$\displaystyle \frac{\operatorname{mod}\left(6174,10^2\right)}{10}=7.4$

最後にその整数部分をfloorで取り出して $7$ だ。

$\operatorname{floor}\left(\frac{\operatorname{mod}\left(6174,10^2\right)}{10}\right)=7$

できたできた。ちゃんと取り出せている。

じゃあ３桁目以降も全く同じ考え方でいけるはずだ。 $6174$ の３桁目たる $1$ を取り出すには、まず下３桁を取り出す。

$\operatorname{mod}\left(6174,10^3\right)=174$

$1$ がほしいので今度は $\frac{1}{100}$ する。

$\displaystyle \frac{\operatorname{mod}\left(6174,10^3\right)}{100}=1.74$

最後に整数部分を取り出す。つまり小数点以下をバッサリ切り捨てる。

$\operatorname{floor}\left(\frac{\operatorname{mod}\left(6174,10^3\right)}{100}\right)=1$

よしよしできたできた。ギュッと押しだして、はみ出た部分をバッサリ切る。なんかトコロテン作ってるみたいな気分だな。トコロテン作ったことないけど。

$\operatorname{mod}\left(6174,10^4\right)=6174$ 　　　下 $k$ 桁を取り出して、

$\displaystyle \frac{\operatorname{mod}\left(6174,10^4\right)}{1000}=6.174$ 　　　ギュッと（小数点以下に）押し出して、

$\operatorname{floor}\left(\frac{\operatorname{mod}\left(6174,10^4\right)}{1000}\right)=6$ 　　　はみ出た部分をバッサリ切る。

今度作ってみようかな。トコロテン。

問題発覚

１桁目を取り出したいとき、２桁目を取り出したいとき、３桁目を取り出したいとき......。ここまでで、何桁目だろうとそれぞれの式がわかったのだから、これは $m$ 桁目を取り出したいときの式に一般化できるよな。法則性から考えて、こうすればいいはず。

自然数 $n$ の $m$ 桁目を取り出す式（関数）： $\displaystyle \operatorname{floor}\left(\frac{\operatorname{mod}\left(n,10^m\right)}{10^{m-1}}\right)$

さっきまでの式と内容は同じはずなのに文字式になるとなんか急にわかりにくくなる感があるな。具体例って大事。

さて。そしたらあとはもうこれを並べ替えるだけだな。取り出した１桁目から順に $a,b,c,d$ としたらこれをひっくり返すには、 $1000a+100b+10c+ d$ って風に足していけばいいわけだから......。

あれ！　ダメじゃん！　これだと４桁の数にしか使えないじゃん！！

この方法で例えば $57$ をひっくり返そうとすると、４桁の数 $0057$ だとみなされて $7500$ になっちゃう。

あ、まあ別にダメではないのか。それはそれでそんな関数もアリだもんな。何か一つの答えがあるような問題を解いてるわけじゃないから、もうこのへんは好みの問題だな。個人的な好みとしてはやっぱり $57$ をひっくり返したら $75$ になってほしい。 $n$ が２桁のときは２桁分だけひっくり返す、４桁のときは４桁分だけひっくり返す。そういう設定が必要だ。ということは......。

$n$ の桁数を求める関数も必要だなこれ。

桁数関数

「桁数　関数」でググっても、excelとかにおいて数字の文字列としての長さから桁数を求めるものばっかりヒットして、数学的な桁数関数ってものはなかなか出てこない。意外と有名なものはないんだな。じゃ作るしかない。

作るとなると、やっぱりあいつが必要になってくるだろうな。

武器３

$\log _{10}\left(n\right)$ ：ログ。「ログじゅうのエヌ」と読む。「 $10$ を何乗すると $n$ になるか？」という意味として捉えることができ、例えば $\log _{10}\left(1000\right)$ だと「 $10$ を何乗すると $1000$ になるか？」ということになるのでこの値は $3$ となる。
かつて多くの船乗りの命を救った英雄。

$\log _{10}\left(100\right)$ は「 $10$ を $100$ にするには何乗か？」と読める。これはもちろん $2$ だ。 $\log _{10}\left(1000\right)$ だと $3$ だ。

$\log _{10}\left(1000\right)$ で $3$ ってことは、 $\log _{10}\left(999\right)$ だと $3$ にはちょっとだけ満たないってことだから、 $2.999\dots$ とかそれぐらいの値になるはず。

$n$ が４桁である $1000$ のとき $\log _{10}\left(n\right)$ は $3$ で、３桁である $999$ のとき $2.999\dots$ 。つまり、この整数部分をとって $1$ を足せば $n$ の桁数が出てくれるということでよさそうだ。こうなる。

$n$ の桁数を取り出す式（関数）： $\operatorname{floor}\left(\log _{10}\left(n\right)\right)+1$

ためしに $1729$ を入れてみると、たしかに $4$ になる。 $196882$ だと $6$ 。そうなるように作ったのだから当然だ。この桁数関数を $d(n)$ とでも置いておこう。

まとめます

よしっじゃあ２つの関数をまとめるぞ！

最上位の桁の数から考えよう。 $n$ をひっくり返した $f(n)$ の最上位にある数は、もとの $n$ の下一桁、つまり関数 $\operatorname{floor}\left(\frac{\operatorname{mod}\left(n,10^1\right)}{10^{1-1}}\right)$ で取り出される数だった。 $6174$ なら $4$ 。それを最上桁まで押し上げるには、 $10$ の冪をかければいい。元が４桁なら $1000$ を、５桁なら $10000$ を。 $m$ 桁なら $10^{m-1}$ を。 $6174$ は４桁の数なので $10^{4-1}$ で $1000$ をかければいい。元の数 $n$ の桁数は $d(n)$ で求められたので、 $10^{d(n)-1}$ となる。つまりこうだ。

$\displaystyle 10^{d\left(n\right)-1}\operatorname{floor}\left(\frac{\operatorname{mod}\left(n,10^1\right)}{10^{1-1}}\right)$

$n=6174$ のとき、これがすなわち $4000$ となる。次はここに $700$ を足したい。下から２番目の数を上から２番目にしたいわけだ。

上から２番目の数は、下から２番目の数を取り出したものにこんどは $10^{d(n)-2}$ をかければいい。

$\displaystyle 10^{d\left(n\right)-2}\operatorname{floor}\left(\frac{\operatorname{mod}\left(n,10^2\right)}{10^{2-1}}\right)$

これが $700$ 。さっきの $4000$ と足して $4700$ 。

次はこうだ。

$\displaystyle 10^{d\left(n\right)-3}\operatorname{floor}\left(\frac{\operatorname{mod}\left(n,10^3\right)}{10^{3-1}}\right)$

$1$ → $2$ と変化している部分を $3$ にしただけ。これが $10$ 。一応 $n$ に $6174$ を入力して確かめてみるか。モッドは下 $k$ 桁を与える関数だったから......。

$\displaystyle 10^{d\left(6174\right)-3}\operatorname{floor}\left(\frac{\operatorname{mod}\left(6174,10^3\right)}{10^{3-1}}\right)$

$= \displaystyle 10^{4-3}\operatorname{floor}\left(\frac{174}{10^{2}}\right)$

$= \displaystyle 10^{1}\operatorname{floor}\left(\frac{174}{100}\right)$

$= \displaystyle 10\operatorname{floor}\left(1.74\right)$

$=10\cdot 1$

$=10$

うむ。あってるな。

最後はこう。

$\displaystyle 10^{d\left(n\right)-4}\operatorname{floor}\left(\frac{\operatorname{mod}\left(n,10^4\right)}{10^{4-1}}\right)$

これらを $1$ から $4$ まで全部足し合わせればいいわけだ。４桁の数では $1$ から $4$ までだったわけだから、一般に $d(n)$ 桁だと $1$ から $d(n)$ まで足せばもう完成のはず！　総和記号を使って書くとこうなるかな。

$\displaystyle\sum _{k=1}^{d\left(n\right)}10^{d\left(n\right)-k}\operatorname{floor}\left(\frac{\operatorname{mod}\left(n,10^k\right)}{10^{k-1}}\right)$

できた！　これが「任意の自然数をひっくり返す関数」だ！！！

完成

一応コンピューターさんにも正しいかどうか見てもらおう。

https://www.desmos.com/calculator/23dohpo6nd

（上のリンク内「 $n=$ 」の部分に好きな数字を入れると真下の式のところに計算結果が表示されます）

関数！　 $496$ をひっくり返して！

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関数！　 $33550336$ をひっくり返して！

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よしよし。できてるできてる。えらいぞ！　関数！

これで完成だ。満足満足。おおむね満足だけど、欲を言えばもう少し簡潔な式になってほしかったかな。

「自然数をひっくり返す」というだけなのにここまで複雑な式になってしまうのは、それはそれで興味深いけどもうちょっと使い勝手のいい式になってくれるといいんだけどな。そしたら例えば $13^2=169$ と $31^2=961$ との関係性みたいな、ひっくり返す系の数学的事実に気軽に考察を与えることができるようになっていいと思うんだけど。まあいいや。今後の課題としよう。

さて

あ〜〜〜〜〜〜今日も今日とてヒマだな。ヒマなはずないんだけどな。やること大量にあるし。やることがいっぱいありすぎるとどれから手つけようｳﾜｱｱってなっちゃって逆に何も手につかないんだよな。仕方ないし関数でも作って遊ぶか。

そうだな今度は例えば......。「任意の自然数を小数点以下で繰り返す関数」とかどうかな。

$7$ なら $0.77777777...$ 。 $1024$ なら $0.102410241024...$ 。お、いい感じかも。ちょっと簡単すぎるかな？　いや、簡単だろと思ってやってたら思いもよらぬことが判明したなんてのはよくあることだしな。とりあえずやってみるか。何から考えたらいいだろ。まずはそうだな......。