はじめてのディリクレ関数

「ディリクレ関数」という病的な関数があります。こんなのです。

$f(x) =\left\{ \begin{array}{l} 1 \ \ （xは有理数）\\ 0 \ \ （xは無理数） \end{array} \right.$

「 $f(x)$ 」とは「 $x$ に関する関数ですよ」ってことです。すなわちディリクレ関数 $f(x)$ とは、「 $x$ に有理数を入力すると1が、無理数を入力すると0が出てくる関数ですよ」ということを意味しています。

例えば $\frac{22}{7}$ は有理数なので $f\left(\frac{22}{7}\right)=1$ 、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ は無理数なので $f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0$ ということになります。

あ、「ディリクレ」は人名です。こういう関数を考えた人がいたよってことです。

ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ

（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805 - 1859）

なんか便利そう

それ自体の有用性はいろいろあるとは思うし、この関数は「いたるところで不連続」というかなり面白い特徴を持つ関数なんですが、今回の話はそこではありません。

「有理数のとき1、無理数のとき0」っていう定義、なんか便宜的っぽいですよね。あぁたしかにそんな関数あったらなんかに使えそうだし、定義しといてもいいよね、って感じで。しかしなんとこの関数、一つの閉じた式として表せるのです。それがこちら。

$\displaystyle f(x) =\lim_{n \to \infty}\lim_{k \to \infty} \left(\cos \left(n!\pi x\right)\right)^{2k}$

n,kは整数とします。なかなかビックリじゃないですか？　有理数と無理数との場合分けを表すのにコサインや階乗が出てきて、しかもそれでちゃんと場合分けが表せているなんて。今回の記事はこれの解説です。読んだ後にはきっとコサインや階乗が出てくる意味に納得できているはずです。

①内側の極限　─それぞれの役割─

とりあえずなんかよくわからん「リム」とか「２ケーじょう」とか「エヌ！」とかは置いといて、まずは「 $\cos \left(\pi x \right)$ とはどんな関数か？」ということを考えます。こんな関数です。

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$x$ がだんだん大きくなっていくときの $y$ の値を想像するとわかりやすいのですが、とにかく周期2（横）で1と-1の間を行ったり来たりする（縦）ことを繰り返す関数なわけです。 $\pi$ があるのは周期を整数にするためです。この $\cos \left(\pi x\right)$ に、

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①1を足して、
②縦に半分にして、
③横に半分にすると、

「周期1で、1と0の間を行ったり来たりする関数」になります。確認してみましょう。

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なってますね。

というか、考えの順番としては実は逆で、「周期1で、1と0の間を行ったり来たりする関数」がとにかく欲しいわけなので、それを得るには $\cos \left(\pi x\right)$ をどう変形させればいいかな？　と考えてこの変形をしたみたいな感じです（もっというと、本当は「入力が整数のとき1で、入力が整数でないとき0」がほしいのです。今のはその前段階です）。

ところで、三角関数の公式の一つに「半角公式」というのがあり、それをあてはめるとさっきの式は

$\displaystyle \frac{\cos \left(2\pi x\right)+1}{2}=\left(\cos \left(\pi x \right)\right)^2$

となります（「あてはめる」というか、これがその半角公式そのものです）。 $\displaystyle \frac{\cos \left(2\pi x\right)+1}{2}$ のままでも別にいいのですが、これは式の表示をより簡潔にするためです。

上記の「周期1で、1と0の間を行ったり来たりする関数」は、 $x=0$ のとき $y=1$ なので、 $x=2$ のときも $y=1$ 、 $x=3$ のときも $y=1$ …となって、これはつまり「入力が整数のとき1で、入力が整数でないとき、0以上で1より小さい値を出力する関数」ともいえます。グラフを見ると明らかですね。

これを「入力が整数のとき1で、入力が整数でないとき0」にしたいのです。つまり「0以上で1より小さい値」の部分を全部「0」にしちゃいたい、というわけです。どうすればよいか。

そうだね。めちゃくちゃべき乗していけばいいね。

「0以上で1より小さい値」は、どんどんべき乗の値を増やしていくことによって0に限りなく近づきます。例えば $\frac{1}{3}$ の2乗は「 $\frac{1}{3}$ の $\frac{1}{3}$ 」、3乗は「 $\frac{1}{3}$ の $\frac{1}{3}$ の $\frac{1}{3}$ 」なわけです。0にぐんぐん近づいてますよね。これが「0.999999」とかでも、べき乗を繰り返せば0に近づくことは変わりません。

それに対して、1は何乗しても1のままです。

というわけで、「入力が整数のとき1で、入力が整数でないとき、0以上で1より小さい値を出力する関数」である $\left(\cos \left(\pi x\right)\right)^2$ は、べき乗しまくることにより「入力が整数のとき1で、入力が整数でないとき0」にぐんぐん近づいていくことがわかりました。

視覚化するとこんな感じです。

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これが、内側の極限 $\displaystyle\lim_{k \to \infty} \left(\cos \left(n!\pi x\right)\right)^{2k}$ がやっていた仕事だったわけです（ $n!$ についてはこのあとすぐ）。 $\displaystyle\lim_{k \to \infty}$ というのがつまり「kを限りなく大きくしていいよ」ってことなんですね。

「 $\cos$ 」は、周期的な関数を実現するため。

「 $\pi$ 」「 $^{2}$ 」は、周期を整数にするため。

「 $\lim$ 」「 $^{k}$ 」は、1と0にくっきり分けるため。

それぞれが果たしていた役割がおわかりいただけたでしょうか。

ここまでのまとめ

今手にしているものを確認します。それは「入力が整数のとき1で、入力が整数でないとき0」という関数でした。コサインと極限にがんばってもらいました。そして最終的な目標は何だったか？　というと、それは「入力が有理数のとき1で、入力が有理数でない（無理数の）とき0」という関数でした。

つまり、「有理数⇒1」と「無理数⇒0」という構造が欲しいのです。ここまでで手に入ったのは「整数⇒1」「非整数⇒0」でした。これに加えて、「有理数⇒整数」「無理数⇒非整数」が手に入ればおいしいわけです。この二つが揃えば、「有理数⇒整数⇒1」「無理数⇒非整数⇒0」になって「有理数⇒1」「無理数⇒0」が手に入るという寸法です（推移律）。

②外側の極限　─なぜ階乗か─

天下り的に言ってしまうと、 $n!x$ は、 $n$ がじゅうぶん大きければ、 $x$ が有理数のときは整数になり、無理数のときは非整数になります。それはなぜか。

xが無理数のとき

まず $x$ が無理数のときを考えます。「 $n!$ 」の「 $!$ 」とは階乗のことで、例えば $8!=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ を意味します。 $n$ は整数でした（そう定義した）。整数×整数=整数なので、 $n!$ も整数になります。 $0!=1$ なので、 $n!$ は「0でない整数」ということになります。0でない整数×無理数=無理数なので、 $x$ が無理数のとき、「 $n!x$ 」は $n$ がなんであれ無理数であり、どうあがいても整数にはなれません。これで、「無理数⇒非整数」が手に入りました。

xが有理数のとき

もう一つの、「 $x$ が有理数なら $n!x$ は整数」を考えます。

そもそも有理数とは、 $\frac{整数}{整数}$ （整数ぶんの整数）と表すことができる数のことでした。そんな有理数 $x$ に対して、 $n$ がじゅうぶん大きい $n!$ をかければ、 $n!x$ は必ず整数になります。

はい。意味わかりませんね。つまりはこういうことです。

ある有理数を例えばで $\frac{1103}{9801}$ としてみます。これに $n!$ をかけるわけですが、まず $n$ が、この有理数の分母である $9801$ 以上ならば、 $n!$ はその因数に必ず $9801$ を含んでいることになります。例えば $10000!$ はその途中に「 $\cdots9803\cdot 9802\cdot 9801\cdot 9800\cdots$ 」という部分があります。実際の $10000!$ の値はデカイので計算は面倒ですが、少なくともそれは「 $9801$ がかかっている数である」ということは確実なわけです。これにより、 $10000!\times\frac{1103}{9801}$ という計算をすると、分子の因数 $9801$ によって分母の $9801$ が「払われて」、分母が1になるということが分かります。分子は整数×整数で整数なので、これはつまり全体としても整数になったことを意味します。